既然前面談雜訊處理時，談到了濾波（Filter）（影像處理軟體上，好像比較偏好翻譯為濾鏡？），那就來進一步認識傅立葉轉換（Fourier transform），因為透過它，可以進一步達到提取影像邊緣輪廓之目的。
只不過一開始先不走得太遠，來畫個正弦波好了：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
freq = 10 # 頻率
stop = .25 # 取樣範圍為 0 ~ stop
sample_rate = 800 # 取樣率，單位 x 取樣幾次
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
y = np.sin(freq * 2 * np.pi * x)
plt.plot(x, y)
plt.show()
這沒什麼困難，就是個正弦波，只不過在這邊要注意的是，sin 波是個連續函式，只不過在電腦的世界是離散的，只能每隔一段距離取樣，程式中的 sample_rate 就是用來設定取樣率：
如果你在這個正弦波上，疊加上一個頻率稍高、振幅稍低的正弦波會如何呢？
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
freq = 10 # 頻率
stop = .25 # 取樣範圍為 0 ~ stop
sample_rate = 800 # 取樣率，單位 x 取樣幾次
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
y1 = np.sin(freq * 2 * np.pi * x)
y2 = np.sin(3 * freq * 2 * np.pi * x) / 3
plt.plot(x, y1)
plt.plot(x, y2)
plt.plot(x, y1 + y2)
plt.show()
plt.plot(x, y)
plt.show()
在下圖中，藍色是方才的正弦波，橘色是頻率稍高、振幅稍低的正弦波，綠色是兩者疊加後的結果：
綠色看來有點像是某種訊號的波形，如果進一步，將上圖的綠色波，再疊加上一個頻率更高、振幅更低的正弦波會如何呢？
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
freq = 10 # 頻率
stop = .25 # 取樣範圍為 0 ~ stop
sample_rate = 800 # 取樣率，單位 x 取樣幾次
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
y1 = np.sin(freq * 2 * np.pi * x)
y2 = np.sin(3 * freq * 2 * np.pi * x) / 3
y3 = np.sin(5 * freq * 2 * np.pi * x) / 5
plt.plot(x, y1 + y2 + y3)
plt.show()
這次只畫出疊加後的波形，看來更像是某種神秘訊號波形了：
在方才每一次的波疊加過程中，1、3、5…這樣的頻率提高、振幅降低是特意選取的，因為想導向一個結果，若不斷地重複以上過程，例如重複個 1000 次，會形成什麼波呢？
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
freq = 10 # 頻率
stop = .25 # 取樣範圍為 0 ~ stop
sample_rate = 800 # 取樣率，單位 x 取樣幾次
n = 1000 # 疊加的波數
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
i = np.arange(1, 2 * n, 2).reshape((n, 1))
y = (np.sin(i * freq * 2 * np.pi * x) / i).sum(axis = 0)
plt.plot(x, y)
plt.show()
結果幾乎是個方波：
呃？正弦波竟然可以構成方波？嚴格來說，是近似於方波，因為若將圖形的顯示放大，還是可以看到曲線的波形起伏，只是很微小，小到以上圖尺寸來看，幾乎看不出來了。
方波是個極端的例子，透過一大堆正弦波的疊加，近似到方波，既然方波都可能近似出來了，其他的週期波，是不是也有可能透過正弦波的疊加來構成？傅立葉（Joseph Fourier）告訴我們，這是可行的，在數學上，將類似波的函數表示成簡單正弦波後的形式，稱為傅立葉級數（Fourier series）。
這代表著，我們可以將不同頻率的訊號混合在一起，不同的頻率代表想要傳遞不同的意義，混合後的波也許像是：
這個波傳送出去後，接收端若能將之轉換為傅立葉級數，就可以取得特定頻率，解讀其中的資訊，上圖其實是四種波組成：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
freq = 10 # 頻率
stop = .25 # 取樣範圍為 0 ~ stop
sample_rate = 800 # 取樣率，單位 x 取樣幾次
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
z1 = np.sin(freq * 2 * np.pi * x) # 頻率 10
z2 = np.sin(3 * freq * 2 * np.pi * x) / 2 # 頻率 30
z3 = np.sin(4 * freq * 2 * np.pi * x) / 5 # 頻率 40
z4 = np.sin(8 * freq * 2 * np.pi * x) / 3 # 頻率 80
zero = np.zeros(z1.size)
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot(x, zero, z1 + z2 + z3 + z4)
ax.plot(x, (zero + freq), z1)
ax.plot(x, (zero + 3 * freq), z2)
ax.plot(x, (zero + 4 * freq), z3)
ax.plot(x, (zero + 8 * freq), z4)
plt.show()
聲波也是類似的道理，如果你試著使用錄音程式，有些錄音程式會顯示你的聲音波形，基本上代表著隨著時間記錄的音量，這個波形也可以分解為許多弦波的組合，例如上圖的藍色波，若代表某個聲音波形，你就可以分解為四種正弦波。
若 x 代表著時間，一段時間內的聲音波形，是隨著時間而變化的，然而就分解後的弦波來看，有四種頻率的波，無論時間再怎麼變化，這四個頻率的值是不變的，若這四個波以頻率為 x 軸，振幅為 y 軸，畫出來的圖會是：
也就是說，這給了我們從不同觀點來觀察的機會，從時域（Time domain）的觀點來看，波是不斷地在變化，然而從頻域（Frequency domain）的觀點來看，頻率始終不變。
可以想像一下，在風琴按下四個鍵，發出的聲音在波形上是四個頻率的波疊加而成，雖然隨著時間過去，波形會有變化，然而聽到的，始終是四個鍵的音組而成，也就是始終是四個頻率的波組合而成。
對於波的疊加有了以上的基本認識，後續來看看，就影像處理而言，知道這些意謂著什麼….