如果想產生一條隨機的曲線，最基本的想法是隨機函式，在每個 x 處產生一個隨機的 y 值吧！例如，Python 本身的 random 模組，提供了一些生成隨機值的函式：
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
width = 500
xs = [i for i in range(0, width, 5)]
ys = [randint(0, 255) for i in range(0, width, 5)]
plt.title('noise')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().set_aspect(1)
plt.plot(xs, ys)
plt.show()
不過，這樣的線連接起來後，比較像個折線，不連續而且無規律：
random 模組的函式，產生的值不會是連續的，想想看，自然界有許多看似隨機，然而卻又連續的現象，例如岳崚起伏，看似不規則，然而高低之間又有一定的連續性，如果想要在程式中模擬這種隨機又連續的現象，可以考慮 Perlin 雜訊，完整的原理說明可在〈Simplex noise demystified〉看到。
來介紹一維 Perlin 雜訊的基本原理，你可以在每個整數 x 點產生一個隨機值，然而這個隨機值並不作為 y 值，而是作為穿越該點的一條線之斜率，而該線是曲線在該點的切線：
Perlin 雜訊取得斜率的方式是，對於一個非整數的 x 值，如下取得 s1 與 s2：
xi = floor(x)
s1 = x - xi
s2 = s1 - 1
s1 會是 0 到 1，s2 會是 -1 到 0，可以用來決定斜率，如果單純只有 xi、 x、xi + 1 三個點，可以決定出斜率：
不過，每個點的斜率會是隨機地有正有負，為此，可以寫個 grad1 函式，隨機傳入 0 或 1，來決定要不要改變斜率正負，不過，Perlin 最初是使用 256 個隨機整數來計算，並稱其最後取得的斜率為梯度（gradient），這是因為 Perlin 雜訊的原理可以擴展至更高維度，也就不限於斜率的觀念，在更高維度時，會將各維度（變數）偏微分後結合為向量，該向量稱為梯度，為此來寫個 grad1：
def grad1(n, s):
return s if n % 2 == 0 else -s
為了得到標準化為 -1 到 1 的雜訊值，由於 s1、s2 間的過渡變化會是 -1 到 1，就來寫個 lerp：
def lerp(s1, s2, t):
return s1 + t * (s2 - s1)
t 會是 0 到 1 的值，只不過 t 不能是線性的，因為會造成曲線的不連續，Perlin 提出過兩種公式：
黑色線是 Perlin 最初提出的公式，後來改為紅色線的公式，以得到更好的連續性，為此來寫個 blending：
def blending(t):
return 6 * (t ** 5) - 15 * (t ** 4) + 10 * (t ** 3)
將以上程式碼整理一下，可以如下撰寫 perlin1 函式：
from math import floor
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
def blending(t):
return 6 * (t ** 5) - 15 * (t ** 4) + 10 * (t ** 3)
def lerp(s1, s2, t):
return s1 + t * (s2 - s1)
def grad1(n, s):
return s if n % 2 == 0 else -s
rand_table = [randint(0, 255) for i in range(256)]
def perlin1(x):
xi = floor(x)
s = x - xi
a = rand_table[xi % 256]
b = rand_table[(xi + 1) % 256]
return lerp(grad1(a, s), grad1(b, s - 1), blending(s))
width = 500
xs = [i for i in range(width)]
ys = [perlin1(x / 100) * 250 for x in xs]
plt.title('Perlin noise')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().set_aspect(1)
plt.plot(xs, ys)
plt.show()
記得在取 Perlin 雜訊時，指定的值若是整數，得到的雜訊值會是 0，因此上例中，將每個 x 除以 100，這樣就會有小數的數值，取得的雜訊值記得會是 -1 到 1 的結果，再看你要怎麼利用雜訊值了，上例中只是單純乘上 250，結果會畫出下圖：
好吧！這跟 NumPy 有關係嗎？如果想要用 NumPy 來做，比較簡單的方式，就是直接向量化 perlin1 函式，並且 rand_table 透過 np.random.randint(255, size = 256)，只不過這樣的話，就算 perlin1 向量化了，最後還是使用單一索引來存取 rand_table。
為了讓事情有趣一些，以下的範例將 blending、lerp、grad1 函式向量化，而 perlin1 採用 NumPy 風格，一次處理一個任務的方式來實作：
import numpy as np
from math import floor
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
def blending(t):
return 6 * (t ** 5) - 15 * (t ** 4) + 10 * (t ** 3)
blending = np.frompyfunc(blending, 1, 1)
def lerp(s1, s2, t):
return s1 + t * (s2 - s1)
lerp = np.frompyfunc(lerp, 3, 1)
def grad1(n, s):
return s if n % 2 == 0 else -s
grad1 = np.frompyfunc(grad1, 2, 1)
rand_table = np.random.randint(255, size = 256)
def perlin1(x):
xi = np.floor(x) # 全部的 xi
s = x - xi # 全部的斜率
a = rand_table[(xi % 256).astype(np.int)] # 全部的隨機 a
b = rand_table[((xi + 1) % 256).astype(np.int)] # 全部的隨機 b
return lerp(grad1(a, s), grad1(b, s - 1), blending(s)) # 全部的雜訊
width = 500
x = np.arange(width)
y = perlin1(x / 100) * 250
plt.title('Perlin noise')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().set_aspect(1)
plt.plot(x, y)
plt.show()
運行的結果也是隨機曲線圖，你可以自行試著從前一個單純 Python 程式碼的實作，練習改為全部 NumPy 風格，這會用上先前文件談過的許多觀念，試試看吧！