在〈實作 3D 海龜繪圖〉最後談到了，你有辦法畫個 3D 版本的〈樹 木曲線〉嗎？我實作了一個版本 Customizable tree curve：

2D 版樹木曲線

想要能實作 3D 版本的樹木曲線，基本上得先實作出 2D 版本的遞迴樹木曲線吧！想要畫出 2D 版本的遞迴樹木曲線，基本上也得先畫出…嗯…一個 Y 吧！…XD

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 50;
leng_scale = 0.7;
angle = 20;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale, angle, width, fn) {
    t2 = moveX(t, leng);
    polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

    t3 = moveX(turnZ(t2, angle), leng * leng_scale);
    polyline3D([getPt(t2), getPt(t3)], width, fn);

    t4 = moveX(turnZ(t2, -angle), leng * leng_scale);
    polyline3D([getPt(t2), getPt(t4)], width, fn);
}

tree(t, leng, leng_scale, angle, width, fn);

如果想從 Y 的支幹也長出 Y，基本上，可以重複呼叫 tree 模組，因為遞迴要有終止條件，因此加上個最短長度限制，結果會是：

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 50;
leng_limit = 5;
leng_scale = 0.7;
angle = 20;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle, width, fn) {
    if(leng > leng_limit) {
        t2 = moveX(t, leng);
        polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

        t3 = moveX(turnZ(t2, angle), leng * leng_scale);
        polyline3D([getPt(t2), getPt(t3)], width, fn);

        t4 = moveX(turnZ(t2, -angle), leng * leng_scale);
        polyline3D([getPt(t2), getPt(t4)], width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angle), 
            leng * leng_scale, 
            leng_scale, 
            leng_limit, 
            angle, width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, -angle), 
            leng * leng_scale, 
            leng_scale, 
            leng_limit, 
            angle, width, fn);

    }    
}

tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle, width, fn);

2D 版本的遞迴樹就出現了：

不過，實際上，除了最末端的枝幹之外，其他枝幹都重複繪製了，也就是這段重複作了繪製的動作：

t3 = moveX(turnZ(t2, angle), leng * leng_scale);
polyline3D([getPt(t2), getPt(t3)], width, fn);

t4 = moveX(turnZ(t2, -angle), leng * leng_scale);
polyline3D([getPt(t2), getPt(t4)], width, fn);

刪掉這兩段，會少一次末端枝幹，不過，程式碼可以精簡一些：

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 50;
leng_limit = 5;
leng_scale = 0.7;
angle = 20;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle, width, fn) {
    if(leng > leng_limit) {
        t2 = moveX(t, leng);
        polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angle), 
            leng * leng_scale, 
            leng_scale, 
            leng_limit, 
            angle, width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, -angle), 
            leng * leng_scale, 
            leng_scale, 
            leng_limit, 
            angle, width, fn);

    }    
}

tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle, width, fn);

3D 版樹木曲線

要將上面的 2D 版本調整成 3D 版本非常簡單，如果 tree 可以指定兩個繞 z 軸轉動角度的話，並且將其中一個角設成 0 度會如何呢？

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 50;
leng_limit = 5;
leng_scale = 0.7;
angle1 = 20;
angle2 = 0;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle1, angle2, width, fn) {
    if(leng > leng_limit) {
        t2 = moveX(t, leng);
        polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angle1), 
            leng * leng_scale, leng_scale, leng_limit, 
            angle1, angle2, 
            width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angle2), 
            leng * leng_scale, leng_scale, leng_limit, 
            angle1, angle2, 
            width, fn);
    }    
}

tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle1, angle2, width, fn);

長得有點奇怪，一邊往上長，又一邊往左長：

如果第二次遞迴呼叫 tree 之前，turnZ 改成 turnX 呢？樹的外型不會變，因為 turnX 也只是轉 0 度，如果 angle2 不是轉 0 度而是轉 127 度呢？

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 50;
leng_limit = 5;
leng_scale = 0.7;
angle1 = 20;
angle2 = 127;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle1, angle2, width, fn) {
    if(leng > leng_limit) {
        t2 = moveX(t, leng);
        polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angle1), 
            leng * leng_scale, leng_scale, leng_limit, 
            angle1, angle2, 
            width, fn);

        tree(
            turnX(t2, angle2), 
            leng * leng_scale, leng_scale, leng_limit, 
            angle1, angle2, 
            width, fn);
    }    
}

tree(t, leng, leng_scale, leng_limit, angle1, angle2, width, fn); 

形成了一顆 3D 立體小樹了：

我選擇 127 這個角度的原因，是因為它是個質數，基本上只要能不整除 360 的數都可以，這麼一來繞 X 軸時，就不會整除 360 度，樹枝在盤旋上昇時就不會正好都位於同一個角度上，實際上，如果讓 leng_scale 也有 leng_scale1 與 leng_scale2，並各選擇一個適當值，而 angle1 與 angle2 也選個適當角度，也就會有顆漂亮的樹了，為了符合 angle1 與 angle2 實際上就是繞 z 軸與 x 軸，就改名為 angleZ 與 angleX 吧！

// 必須用到之前寫的 3D 海龜繪圖程式碼

leng = 100;
leng_limit = 1;
leng_scale1 = 0.4;
leng_scale2 = 0.9;
angleZ = 60;
angleX = 135;
width = 2;
fn = 4;

t = turtle3D( 
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標向量
);

module tree(t, leng, leng_scale1, leng_scale2, leng_limit, 
            angleZ, angleX, width, fn) {
    if(leng > leng_limit) {
        t2 = moveX(t, leng);
        polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], width, fn);

        tree(
            turnZ(t2, angleZ), 
            leng * leng_scale1, leng_scale1, leng_scale2, leng_limit, 
            angleZ, angleX, 
            width, fn);

        tree(
            turnX(t2, angleX), 
            leng * leng_scale2, leng_scale1, leng_scale2, leng_limit, 
            angleZ, angleX, 
            width, fn);
    }    
}

tree(t, leng, leng_scale1, leng_scale2, leng_limit, 
     angleZ, angleX, width, fn);

為了讓樹看起來比較濃密一些，我也調整了 leng 與 leng_limit，完 成的效果如下：

當然，你還可以繼續在樹幹寬度等上頭下功夫，讓一開始的主幹夠粗，而每一次的支幹比主幹細一些，或者是我寫的 Customizable tree curve，增加更多方向的遞迴（當然，電腦就更辛苦一些了），我還在上頭加了點亂數，讓枝幹略呈不規則狀，讓遞迴結果看 起來更像是樹，這部份就留給你自己來嘗試了！