在〈海龜也懂碎形〉畫了樹，願意的話，你也可以用海龜來畫〈科赫曲線〉、〈蕨葉曲線〉、〈雪花曲線〉、〈龍形曲線〉、〈希爾伯特曲線〉、〈十字繡曲線〉等碎形曲線。
在實現這類碎形曲線的過程中，你可能會產生一個想法，這些曲線實際上都是以一系列前進、轉彎的指令，命令海龜做出相對應的動作，有沒有辦法將程式通用化，單純地餵一串指令給他們就好？
例如〈海龜也懂碎形〉中的樹，想畫個 Y，就是前進、置入、右轉、[前進]、取出、置入、左轉、[前進]、取出，如果每個分支也想畫個 Y，就是將 [前進] 再生成為前進、置入、右轉、[前進]、取出、置入、左轉、[前進]、取出…如此不斷生成下去，最後海龜只要看這串指令，就可以畫出一棵樹。
這樣的想法是對的，為了便於撰寫與生成指令，可以用符號來表示前進、置入、轉彎、取出等基本動作，先定義如下：
F：前進並畫線+：左轉-：右轉[：將目前狀態置入堆疊]：取出堆疊頂的狀態
方才的指令就可以簡化為：
- 初始：
X - 規則：
X → F[+X][-X]
最先會從 X 開始，X 生成一次就是 F[+X][-X]，第二次生成 X 就是 F[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]，第三次生成 X 就是 F[+F[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]][-F[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]]…就看你要生成幾次，假設只生成三次，若 X 本身也視為前進指令，就相當於 F[+F[+F[+F][-F]][-F[+F][-F]]][-F[+F[+F][-F]][-F[+F][-F]]]。
這樣的標記方式，其實是 Lindenmaye system，簡稱 L-system，是 1968年由荷蘭生物學和植物學家 Aristid Lindenmayer 提出，有關生長發展中的細胞交互作用的數學模型，方才談及的過程，實際上是在規範一種語言的文法，也就是 G = (V, ω, P)。
V 是符號集合，包含可被生成的變數以及不能被生成的常數；ω 是初始符號集合或稱為公理（axiom），為文法之源，P 是產生規則。
就方才的樹生長來說，依變數、常數、公理、規則，就可以如下表示：
- 變數：
X - 常數：
F[]+- - 公理：
X - 規則：
X → F[+X][-X]
由於生成指令的過程，不過就是一連串規律的符號取代過程，透過程式實現並不困難，如果預計使用以下的方式來產生最後的指令：
const instructions = lsystem(
'X', // 公理
{ // 規則
'X': 'F[+X][-X]'
},
2 // 生成次數
);
若最後結果想產生 'F[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]'，那麼可以實作出以下的 lsystem 函式：
function lsystem(axiom, rules, n) {
// 若變數符合規則，進行生成，否則直接傳回變數
function produceOne(variable, rules) {
if(rules[variable]) {
return Array.from(rules[variable]);
}
return [variable];
}
// 依指定次數生成
function produceAll(axiom, rules, n) {
let symbols = Array.from(axiom); // 為了利用 Array 的 flatMap 方法
for(let i = 0; i < n; i++) {
symbols = symbols.flatMap(symbol => produceOne(symbol, rules));
}
return symbols;
}
return produceAll(axiom, rules, n).join('');
}
如果你有多個規則的話，指定方式就是：
const instructions = lsystem(
'X', // 公理
{ // 規則
'X': 'F[+X][-X]',
'F': 'FF'
},
3 // 生成次數
);
如上撰寫程式的話，會生成 'FFFF[+FF[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]][-FF[+F[+X][-X]][-F[+X][-X]]]'。
必須釐清的是，雖然這邊以海龜繪圖來說明，不過 L-system 並不是為了海龜繪圖而生，端看你賦予符號的意義，例如，若是以下的 L-system：
- 變數：
AB - 常數：無
- 公理：
A - 規則：
A → ABA、B → BBB
A 若代表前進畫線、B 代表前進不畫線，第一條公理代表的是一直線：
生成一次的話就是 ABA，畫出來的話就是：
在這邊並沒有定義直線的長度，ABA 純綷就是表示畫線的規律罷了，生成三次的話就是 ABA，畫出來的話就是 ABABBBABA，畫線的規律就是：
記得，這邊並沒有定義直線的長度，ABA 純綷就是表示畫線的規律罷了，這邊只不過特意安排了線的長度，每一次生成的集合稱為康托爾集（Cantor set），如果無限次生成，會是個無限大的集合，然而如果將之畫出，其實什麼都沒有，因為就整個集合畫出的圖來看，每個線段相當於無限小了。
簡單來說，L-system 只是在表示某個規律，怎麼在圖案上呈現是另一回事，例如，若特意安排線的長度，每次生成的康托爾集特意排列，會形成有趣的圖案：
如果不是畫在平面呢？維基的康托爾集（Cantor set）頁面中，就有這麼一張圖：
當然，L-system 可以用來描述海龜繪圖，這是下篇文件要談的內容了…