在〈轉換矩陣〉中談到的旋轉，是頂點繞著 X、Y 或 Z 軸轉動，然而有時會需要繞著指定的特定軸來旋轉頂點，軸的部份會使用向量來表示，例如下圖，使用 u 來表示旋轉軸，旋轉角度為 θ：
如果對於 3D 方面的數學有些涉獵，看到這個需求應該會想到四元數與旋轉，就結論來說，可以將這個需求化為一個四元數，然而套用四元數旋轉矩陣，就可以達成任務，然而，若你對四元數或其旋轉矩陣的導證有興趣，認識 Rodrigues 旋轉公式的導證，會有所幫助。
首先，旋轉時的圓路徑構成一個平面，該平面與 u 正交，把這個平面置於原點，若未旋轉的頂點使用向量 v 來表示，可以將之分解為兩個向量 v1、v2：
v1 為 v 在 u 上的投影，而 v2 為 v 在平面上的投影，a 為 v1、v2 的夾角，根據內積公式 u‧v = |u||v| cos(a)，若要求得 v1 可以如下：
實際上對於旋轉軸 u，只需關心它的方向，不用在意它的大小，因此 u 可以用單位向量指定，也就是 |u| 會是 1，結果就是：
接下來要繞著 u 旋轉 v 得到 v'，就可以看成是 v1 與 v2 繞著 u 旋轉，若旋轉後分別得到 v1' 與 v2'，最後得到 v' = v1' + v2'：
對於 v1 來說，因為跟 u 平行，旋轉後還是相同，也就是 v1' = v1，至於 v2 的轉動，可以分解為平面上的兩個向量：
為了能計算 v2' 在上圖中垂直軸上的投影，必須要有垂直軸的向量 w，因為指定的旋轉軸 u 與 v2 正交，那麼 w 可以由 u 與 v2 的外積取得，也就是 w = u x v2，單位向量為 w/|w|，因此 v21' 與 v22' 會是：
因為 |v2'| 就是 |v2|，因此：
外積公式 a x b = |a||b|sin(a) n，n 為與 a、b 正交的單位向量，在這邊 a 為 u，b 為 v2，而 u 與 v2 正交，因此 u x v2 = |u||v2| n，n 就是 w/|w|，因此 |w| 就是 |u||v2|w / (u x v2)，u 是單位向量，|u| 為 1，因此 |w| 為 |v2|w / (u x v2)，代入上面的式子化簡後得到：
因此 v2' = v21' + v22' = sin(θ)(u x v2) + cos(θ)v2，其中 u x v2 可以是 u x (v - v1) = u x v - u x v1，因為 u 與 v1 平行，u x v1 為 0，所以 u x v2 會是 u x v，最後就是 v2' = sin(θ)(u x v) + cos(θ)v2。
因為 v 旋轉後得到 v' = v1' + v2'，前面已導出 v1' = v1，而 v1 = (u‧v) u，v2 = v - (u‧v) u，因此
v' 為 (u‧v) u + sin(θ)(u x v) + cos(θ)(v - (u‧v) u)，整理一下可以得到最後的旋轉公式：
公式是導出來了，不過看起來複雜，有個軸角（axis–angle）轉換矩陣與要轉動的向量結合後，等價於此公式，不過矩陣相對於四元數旋轉矩陣來說，還是複雜許多，因而比較少見到這個公式的運用或實作。
不過，利用分解向量以及有些向量之間的正交關係，來導證出旋轉公式的過程，與導證四元數旋轉矩陣的過程會有關聯，這之後再來簡單聊聊！