等價匿名函式？

有一件事必須得承認，就如同 Y Combinator 從來不肯面對 x 從何而來這個問題，這一系列的文件也從來不面對 undefined 這個問題。

從〈未定義是值嗎？〉到〈真的未定義？〉，不是已經解決 undefined 了嗎？不！並沒有，只是沒有使用 undefined 而已，就算是 no_use，那也不是 undefined 的匿名函式定義，只是函式中不會去理 no_use 而已。

匿名函式是否等價？

到底有沒有辦法使用匿名函式來定義 undefined 呢？如果針對特定需求，將 undefined 可適用的場合加以限制，應該是可以，不過，如果想要定義一個通用的匿名函式 s 來表示 undefined，這就得面對一個問題，勢必要有個通用的 eq(x)(s)，能夠決定 x 與 s 這兩個匿名函式是否等價。

也許有人會說，x === s 不行嗎？不行！=== 是 JavaScript 的東西，而且它比較的其實是 x 與 s 的記憶體位址，不是比較匿名函式是否等價，而且，如果函式物件不是全域的存在，單純像是 (x => x) === (x => x) 的結果會是 false，實際上兩者是等價的。

試著呼叫匿名函式，看看它們是不是傳回相同的值呢？唔！因為是 eq 必須是通用的，你沒辦法預期會傳入什麼匿名函式，也就無法確定呼叫匿名函式時該傳入什麼引數，而且別忘了，值全部都使用匿名函式編碼了，傳回值也會是匿名函式，問題回到原點，如何確認傳回的兩個匿名函式等價？

也許野心先別太大，來看看數字是怎麼比較相等性好了，在〈算術的編碼〉中看過 is_$0：

let is_$0 = n => n(x => no)(yes);

實際上它沒有直接比較 $0 與 $0，只是呼叫傳入的值，看看傳回 yes 或 no，那麼可以比較兩個數字是否相等嗎？來試試看：

let naturalEq = m => n => when(is_$0(sub(m)(n)))
                                (_ => is_$0(sub(n)(m)))
                                (_ => no)(no_use);

如果兩個數字相等，那麼相減結果必然是 $0，目前僅定義自然數，相減結果最小是 $0，因而除了 m 減去 n 必須為 $0 之外，也要檢查 n 減去 m 要是為 $0。

naturalEq 可以比較任意兩個數字並傳回 yes 或 no，最終是透過 is_$0 來確認等價性，在對匿名函式加以限制的情況下（例如限制在數字），這類的等價性確認是可以達成的，naturalEq 不是通用的 eq，不過可以解決數字等價的問題。

那麼，若參數與傳回值是數字的函式，基於數字來確定函式的等價性是有可能的了，例如：

let f = n => $1;
let g = n => $1;

可以判定 f 與 g 等價，因為對任意的數字 n，執行後一定傳回 $1，令 f 與 g 更複雜一些的話呢？

let x = (某個數字);
let f = n => $1;
let g = n => when(naturalEq(x)(n))
                    (_ => $1)
                    (_ => f(n))(no_use);

可以判定 f 與 g 等價，因為對任意的數字 n，執行後一定傳回 $1，如果是底下的 f 與 g 呢？

let some = (某個箭號函式);
let x = (某個數字);
let f = n => (_ => $1)(some(x));
let g = n => when(naturalEq(x)(n))
                    (_ => $1)
                    (_ => f(n))(no_use);

不管 some 是什麼，some(n) 執行完畢之後，當成是引數傳入，引數會被忽略直接傳回 $1，沒問題，f 與 g 可以判定為等價。

等一下！some(n) 一定會執行完畢嗎？如果 some 是 y(some => x => some(x)) 呢？那會發生無限遞迴，如果真有個通用的 eq 存在，可以在 eq(f)(g) 時列舉 n，用以判定 f 與 g 的等價性，既然是通用的 eq，那表示也可以用 eq(x)(n) 來取代 naturalEq(x)(n)，而且 eq 可以在發現無限遞迴時，直接傳回 no（因為無限遞迴時一定不會傳回 $1），而 some(x) 可以執行完畢的情況下，結果就是 yes（因為 f 與 g 等價）。

停還是不停？

也就是說，eq(f)(g) 等於是在判斷 some(x) 可否執行完畢，那就來寫個 is_halt 函式：

let is_halt = some => x => 
    (f => 
        (g =>
            
            eq(f)(g)

        )(n => when(eq(x)(n))(_ => $1)(_ => f(n))(no_use))
    )(n => (_ => $1)(some(x)));

這個 is_halt，可以接受任意函式 some 與 x，如果 some(x) 可執行完畢就傳回 yes，不然就是 no。

如果有個函式 f，可以接受自身作為輸入，像是 Y Combinator 中 x[x] 的情況，因而關心的是 f(f) 能不能執行完畢，若可以執行完畢的話，希望可以進入另一個永不停止的流程：

let forever = y(f => x => f(x));
let foreverIfHalt = f => when(is_halt(f)(f))
                                (_ => forever($0))
                                (_ => $0)(no_use);

這需求在直覺上或許會認為不奇怪且可能（若指定 f 回呼會執行完畢，那就執行另一個預設的、不會停止的函式），如果被指定的回呼函式就是 foreverIfHalt 呢？

foreverIfHalt(foreverIfHalt);

如果上式能執行完畢，表示 is_halt(foreverIfHalt)(foreverIfHalt) 必須是 no，也就是表示 some 是 foreverIfHalt，而 x 也是 foreverIfHalt 時，eq(f)(g) 的行為會是「some(x) 可以執行完畢的情況下，傳回 no」，可是剛才說「some(x) 可以執行完畢的情況下，結果就是 yes」。

如果上式不能執行完畢，表示 is_halt(foreverIfHalt)(foreverIfHalt) 必須是 yes，也就是表示 some 是 foreverIfHalt，而 x 也是 foreverIfHalt 時，eq(f)(g) 的行為會是「some(x) 不能執行完畢的情況下，傳回 yes」，可是剛才說「eq 可以在發現無限遞迴時，直接傳回 no」。

之前說應該 yes 的情況，現在卻變成 no，之前說應該 no 的情況，現在卻變成 yes，這是政治上流行的髮夾彎嗎？這樣的政治人物…嗯…咳…這樣的 eq 根本就不該存在！

也就是說，可以判斷任意兩個匿名函式是否等價的運算不存在！