未定義是值嗎？

來看看〈是的！不是！〉中到底定義了什麼？

let yes = f => y => f();
let no = x => f => f(); 
let when = c => c;

三個函式？不！三個「值」！函式也是值！因此 yes 是個值，no 也是個值，既然如此，可以用來替代仍借助於 JavaScript 的 true、false 嗎？可以的！

lambda 表示式就是值

這也給個機會，重新思考什麼是值？在多數程式語言中，值就是個定義好的符號，像是 true、false、1、2、3 等，在 lambda 演算的世界中，lambda 表示式就是值，可以用 lambda 表示式來定義 true、false，這邊的 yes、no 就是實際的例子，進一步地 1、2、3 也可以用 lambda 表示式來定義（這在後面的篇幅會談到）。

來試著不使用 ?:、true、false 來完成 map(list(elems(1)(2)(3)))(elem => elem - 1) 如何？首先，List 的結構不用修改：

let pair = l => r => f => f(l)(r);
let left = p => p(l => _ => l);
let right = p => p(_ => r => r);

let nil = pair(undefined)(undefined);
let con = h => t => pair(h)(t);
let head = left;
let tail = right;

接下來，看看 let isEmpty = lt => head(lt) === undefined;，若有個 lt 代表著 List，isEmpty 現在希望必須傳回 yes、no 而不是 true、false，isEmpty 主要是看看首元素有沒有定義，雖然可以寫 let isEmpty = lt => head(lt) === undefined ? yes : no;，不過來想想看 undefined，它該算是個值嗎？

定義 undef

undefined 是值嗎？或者只是個唯一的符號？undefined 表示沒有東西、也不是容器、沒有對應的操作，什麼也沒有？

若就 JavaScript 來說，將 undefined 當成一個值，因此，就目前來說可以利用這點，在目前的箭號函式表示中，將 undefined 當成是符號，讓 JavaScript 代為判斷 undefined 是 yes 還是 no：

let is_undefined = n => n === undefined ? yes : no;

從 lambda 演算的角度來看，is_undefined 會是個黑箱，是運算機器（這邊就是 JavaScript 環境）的一部份，因此使用 ===、?: 就不是問題，這黑箱只要看看是不是 undefined 符號，寫下 yes 或 no 的 lambda 表示式就是了。

實際上在目前的箭號符號表示方式中，有些地方雖然沒有寫出 undefined，然而隱含著使用了 undefined 這個符號，例如，有個函式 f = x => x + 1，若以 f() 執行，就 JavaScript 環境來說，x 就會是 undefined，也就是就 lambda 表示式來說，可以看成是 f(undefined)，隱含地傳入了 undefined 符號。

如果直接使用 undefined 真的讓你感到不舒服，那就來定義一個 undef 好了：

let undef = (_ => _)();

就 lambda 演算角度來看，(_ => _)() 像是個 lambda 表示式，如果以人力來運算，就是看看是不是 (_ => _)()，確定是不是未定值的表示式；如果使用 JavaScript 執行環境來運算，undef 也還是 undefined，最終，還是依然有個黑箱：

let is_undef = n => n === undef ? yes : no;

重構

雖然黑箱依然存在，然而就目前來說，這可以讓事情簡單一些，最終的運算表示式中，也可以不出現 undefined 這個 JavaScript 中的元素，爽度應該會高一些。例如 List 的相關定義現在可以是：

let pair = l => r => f => f(l)(r);
let left = p => p(l => _ => l);
let right = p => p(_ => r => r);

let nil = pair(undef)(undef);
let con = h => t => pair(h)(t);
let head = left;
let tail = right;

於是，isEmpty 現在可以傳回 yes、no 了：

let isEmpty = l => is_undef(head(l));

接下來，可以實現幾個簡單的函式，像是 len、sum 之類的：

let len = l => when(isEmpty(l))
					(_ => 0)
					(_ => 1 + len(tail(l)));

let sum = l => when(isEmpty(l))
					(_ => 0)
					(_ => head(l) + sum(tail(l)));

別忘了，由於 when、yes、no 實現了惰性，when 接下來的兩個值，必須是個函式，在這邊略為排版了一下，看起來像是有了新的語言了。

在〈是的！不是！〉也談過，when 只是增加一層語義，實際上什麼也不做，也就是說，上例中的 when(isEmpty(l)) 直接寫為 isEmpty(l)，函式也可以正常運作，就上面兩個函式來說，由於 isEmpty 名稱上還算清楚，是可以這麼做，然而若不是這類的名稱，加上 when 還是比較好的方式。

接下來重構一下 list 等函式：

let rcon = t => h => when(is_undef(h))
							(_ => t)
							(_ => rcon(con(h)(t)));

let rev = r => l => when(isEmpty(l))
						(_ => r)
						(_ => rev(con(head(l))(r))(tail(l)));

let reverse = l => rev(nil)(l);

let elems = rcon(nil);

let list = es => reverse(es());

來試試看：

let lt = list(elems(1)(2)(3)(4));
console.log(len(lt));    // 4
console.log(sum(lt));    // 10

實現一下 map 函式：

let map = l => f => when(isEmpty(l))
						(_ => nil)
						(_ => con(f(head(l)))(map(tail(l))(f)));

如果有個輔助函式為 array，可以將 List 轉為 JavaScript 陣列，那麼底下會顯示 [0, 1, 2]：

let lt2 = map(list(elems(1)(2)(3)))(elem => elem - 1);
console.log(array(lt2));

輔助用的函式與 lambda 演算沒直接關係，程式碼如下：

function array(lt) {
	function arr(acc, l) {
		if(isEmpty(l) === yes) {
			return acc;
		} else {
			return arr(acc.concat([head(l)]), tail(l));
		}
	}
	return arr([], lt);
}

來試著像之前那樣，將 map(list(elems(1)(2)(3)))(elem => elem - 1) 全部使用箭號函式表示：

(f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(map => l => f => (l => is_undef((p => p(l => _ => l))(l)))(l)(_ => ((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)())))(_ => (h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))(f((p => p(l => _ => l))(l)))(map((p => p(_ => r => r))(l))(f))))((es => (l => ((f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(rev => r => l => (l => is_undef((p => p(l => _ => l))(l)))(l)(_ => r)(_ => rev((h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))((p => p(l => _ => l))(l))(r))((p => p(_ => r => r))(l)))))((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)()))(l))(es()))((f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(rcon => t => h => is_undef(h)(_ => t)(_ => rcon((h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))(h)(t))))((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)()))(1)(2)(3)))(elem => elem - 1)

想要在 JavaScript 環境中執行上面的箭號函式的話，只需要有 is_undef 的定義，也就是這個黑箱作為環境邊界。

如果不打算將環境邊界定得那麼嚴格，可以將 is_undef 替換為以下，就可以直接運算得到結果了：

n => n === (_ => _)() ? (f => y => f()) : (x => f => f())`，成為 `(f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(map => l => f => (l => (n => n === (_ => _)() ? (f => y => f()) : (x => f => f()))((p => p(l => _ => l))(l)))(l)(_ => ((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)())))(_ => (h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))(f((p => p(l => _ => l))(l)))(map((p => p(_ => r => r))(l))(f))))((es => (l => ((f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(rev => r => l => (l => (n => n === (_ => _)() ? (f => y => f()) : (x => f => f()))((p => p(l => _ => l))(l)))(l)(_ => r)(_ => rev((h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))((p => p(l => _ => l))(l))(r))((p => p(_ => r => r))(l)))))((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)()))(l))(es()))((f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n))))(rcon => t => h => (n => n === (_ => _)() ? (f => y => f()) : (x => f => f()))(h)(_ => t)(_ => rcon((h => t => (l => r => f => f(l)(r))(h)(t))(h)(t))))((l => r => f => f(l)(r))((_ => _)())((_ => _)()))(1)(2)(3)))(elem => elem - 1)

還有可能再進一步嗎？例如，map(list(elems(1)(2)(3)))(elem => elem - 1) 中，連 1、2、3 甚至 - 都用箭號函式來表示？似乎是可以挑戰看看的對象…