在〈傅立葉轉換（一）〉的最後，知道了訊號可以分別從時域（Time domain）及從頻域（Frequency domain）來觀察，根據維基百科〈傅立葉轉換〉，傅立葉提出了一個轉換公式，對於一個可積分的函式 f(x)，可以將之轉換為另一函式 F(ξ)，若 ξ 表示頻率，F(ξ) 是：
傅立葉轉換簡單來說，是將一個函式轉換為另一個函式，若 x 代表時間，就表示可以將一個時域的函式，轉換為頻域的函式。
NumPy 提供了傅立葉轉換的實作，嚴格來說，是〈快速傅立葉變換〉，是基於電腦運算本身為離散性、改進了計算複雜度而來，NumPy 的傅立葉轉換實作是由 numpy.fft 提供。
來看看基本的應用的場合，假設你取樣了一段訊號 samples：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = 2 # 取樣時間
sample_rate = 800 # 取樣率，每秒取幾個樣本
...有個 singal 實作，用來對訊號取樣
samples = signal(t, sample_rate)
x = np.linspace(0, t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
plt.plot(x, samples)
plt.show()
若想知道這個訊號，是由哪些頻率的訊號組成，可以透過 numpy.fft.ftt 函式，求得傅立葉轉換後的結果：
sp = np.fft.fft(samples)
取得的結果會是一組複數，每個複數代表著某個頻率下，弦波的相位與振幅：
[ 1.20044946e-13+0.00000000e+00j -1.79877390e-12-5.78775631e-14j
7.56818470e-15-2.44052282e-12j ... 1.59967379e-12+6.18560896e-14j
7.56818470e-15+2.44052282e-12j -1.79877390e-12+5.78775631e-14j]
對於一個複數，若畫在複數平面時，複數的實部與虛部構成了一個向量：
旋轉該向量，以旋轉期間得到的垂直分量為 y（也就是虛數部份），時間為 x，畫出來的會是弦波，以旋轉期間得到的水平分量為 y（也就是實數部份），時間為 x，畫出來的也會是弦波，也就是說，這些複數包含了弦波的資訊。
NumPy 提供了 fftfreq，可以指定取樣資料的尺寸與取樣率的倒數，計算出取樣頻率：
freq = np.fft.fftfreq(samples.size, d = 1 / sample_rate)
如果要將頻域的結果畫出來，可以取複數的振幅，在頻域部份，通常不會關心振幅實際的值，可以取標準化後的結果就可以了：
amp = np.abs(sp)
amp_normal = amp / np.max(amp)
將以上組合起來：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = 2 # 取樣時間
sample_rate = 800 # 取樣率，每秒取幾個樣本
def signal(t, sample_rate):
f = 10
x = np.linspace(0, t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
return (np.sin(f * 2 * np.pi * x) +
np.sin(3 * f * 2 * np.pi * x) / 2 +
np.sin(4 * f * 2 * np.pi * x) / 5 +
np.sin(8 * f * 2 * np.pi * x) / 3)
samples = signal(t, sample_rate)
sp = np.fft.fft(samples)
freq = np.fft.fftfreq(samples.size, d = 1 / sample_rate)
amp = np.abs(sp)
ax = plt.gca()
ax.stem(freq, amp / np.max(amp))
ax.set_xlim([np.min(freq), np.max(freq)])
plt.show()
就可以畫出頻域的圖形了：
嗯？怎麼會有負頻率？想想看，對於一個 sin(f * 2π * t)，就好比一個點繞著圓轉，若 f 為正，表示逆時針轉動畫出來的弦波，若 f 為負，表示順時針轉動畫出來的弦波。
方才談到，傅立葉轉換後的複數，包含了弦波的資訊，如果你將正頻率與負頻率相對應的複數旋轉，虛數分量相加會為 0，畫出來就是條水平線，而實數合成的部份，畫出來會是條弦波（可參考〈如何正确理解信号处理中的负频率？〉中的動畫），也就是訊號總是在實數軸的分量組成，而在對訊號取樣時，得到的值確實也都是實數。
若只想知道訊號是由哪些頻率組成，只要看正頻率的部份就可以了，例如，調整一下上圖的區間，就可以清楚地看到訊號是由四個頻率組成，對照一下方才 signal 的實作，這四個頻率正好就是 signal 中的四個頻率：
根據維基百科〈傅立葉轉換〉中的說明，也可以將 F(ξ) 逆轉換為 f(x)，NumPy 提供了 ifft 函式，可以從事這項轉換。例如：
samples2 = np.fft.ifft(sp).real # 只需要實部的部份
將 samples2 畫出來，得到的圖案與 samples 畫出來的訊號是相同的，既然如此，若對傅立葉轉換後的頻域資料動些手腳，再逆轉換回時域，例如，若將頻率 10 與 -10 以外的部份設為 0，就表示這些頻率的訊號振幅都是 0 了，也就是消去了訊號，這就有了濾波的功能：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = 2 # 取樣時間
sample_rate = 800 # 取樣率，每秒取幾個樣本
def signal(t, sample_rate):
f = 10
x = np.linspace(0, t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
return (np.sin(f * 2 * np.pi * x) +
np.sin(3 * f * 2 * np.pi * x) / 2 +
np.sin(4 * f * 2 * np.pi * x) / 5 +
np.sin(8 * f * 2 * np.pi * x) / 3)
samples = signal(t, sample_rate)
sp = np.fft.fft(samples)
freq = np.fft.fftfreq(samples.size, d = 1 / sample_rate)
sp2 = sp.copy()
# 頻率 10 與 -10 以外的部份設為 0
sp2[np.intersect1d(np.where(freq != 10), np.where(freq != -10))] = 0
# 逆轉換
samples2 = np.fft.ifft(sp2).real
x = np.linspace(0, t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
plt.plot(x, samples)
plt.plot(x, samples2)
plt.show()
顯示的結果如下，藍色是原訊號，橘色濾波後的訊號，也就是從原訊號中擷取出頻率 10 的訊號部份：
在下一篇文件中，會將焦點暫且轉換至 Perlin 雜訊，目的是認識訊號與影像處理之間的關係…