使用 NumPy 在處理資料時，可以將資料看成一個整體進行運算，例如，可以對一組數字全部加 1：
import numpy as np
nums1 = np.array([1, 2, 3])
nums2 = nums1 + 10
從程式設計者的角度來看，nums 是一組數字，怎麼可以直接加上一個純量呢？然而，換個角度來想，
你是要對這組數字進行相同的操作，直接加 10，在表達上不是就夠了？
好吧！以上的說明文字，是從〈陣列程式設計〉中複製過來的，當時純綷是從程式碼的表述來談，那麼你有沒有想過，為什麼 NumPy 可以這麼做？
你可能會從純量計算的角度來看這件事，例如：
nums1 = [1, 2, 3]
nums2 = [n + 10 for n in nums1]
然而，NumPy 也可以將不同維度的陣列進行運算：
import numpy as np
a = np.arange(4).reshape(2, 2)
print(a + 10)
print(a + np.array([1, 3]))
print(a + np.array([[2, 4], [6, 8]]))
print(a + np.array([[10, 20]]))
print(a + np.array([[100]]))
print(a + np.array([200]))
想想看以上的計算各會什麼結果呢？而且並非各種維度都能混在一起計算，底下就會出錯：
import numpy as np
a = np.arange(4).reshape(2, 2)
print(a + np.array([1, 2, 3]))
錯誤訊息會是：
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,2) (3,)
從訊息中可以看到 broadcast 這個字眼，對於不同維度的資料，NumPy 有一套複雜的運算機制，稱為 Broadcasting，中文常翻為擴張，在〈Broadcasting〉可以看到擴張的四個規則，以及輸入陣列可擴張的（broadcastable）三個條件…呃…我相信第一次看的人，都會冒出一個念頭「這啥鬼？」
你有沒有注意到，〈Broadcasting〉的說明文件，是〈Universal functions〉的一部份呢？Universal functions 文件的一開頭就寫到：
A universal function (or ufunc for short) is a function that operates on ndarrays in an element-by-element fashion, supporting array broadcasting, type casting, and several other standard features.
理解擴張的出發點，其實就在 operates on ndarrays in an element-by-element fashion 這段，無論是幾維，形狀為何，Universal 函式底層關心的，都是單一元素如何處理，在〈NumPy 的 Universal 函式〉中，透過 frompyfunc 包裹普通的 Python 函式時，你指定的普通 Python 函式就是這麼做的。
先從簡單的開始好了，對於 a = np.array([1, 2, 3]) 與 b = np.array([4, 5, 6])，若透過 np.add 相加（也就是相當於 a + b），np.add 這個 Universal 函式，會一對一地處理元素相加，這沒有問題！
如果是 a = np.array([1, 2, 3]) 與 b = 1 呢？兩者維度不同，np.add 找出維度較大的陣列 a，讓 b 的維度與之相同，你可以想像 b 被視為 np.array([1]) 了。
現在維度相同了，而形狀不同，一個是 (3, )，一個是 (1, )，還無法讓 np.add 可以一對一處理，為了能一對一處理，只好在每取出 a 的一個元素時，b 的 1 就用一次，你可以想像 b 被視為 np.array([1, 1, 1]) 了。
就方才的說明，a 的維度是 1，形狀為 (3, )，b 原本維度是 0，形狀為 ()（純量 n 可視為 np.array(n)），計算過程就像是在低維度的陣列增加維度，形狀上從 () 變為 (1, )，然後改變形狀為 (3, )，就使用者的角度來看，就像是 b 被擴充了：
不過這邊只說了「你可以想像 b 被視為…」，是因為實際上不會真的擴充為陣列，只是就使用者的角度來看會如上圖罷了。
如果是 a = np.array([1, 2, 3]) 與 b = np.array([1]) 呢？兩者維度相同，np.add 想要一對一處理時發現形狀不同，只好在每取出 a 的一個元素時，b 中唯一的元素 1 就用一次，你可以想像 b 被視為 np.array([1, 1, 1]) 了：
就方才的說明，a 的維度是 1，形狀為 (3, )，b 原本維度是 1，形狀為 (1, )，然後改變形狀為 (3, )。
接著使用二維陣列 a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])，而 b = np.array([1])，為了便於說明，就都用「想像」後的結果來討論了。首先，兩者維度不同，先增加 b 的維度，也就是視 b 相當於 np.array([[1]])，就形狀而言，b 相當於從 (1, )，變成了 (1, 1)，也就是新維度的軸（axis 0）先設 1（下圖加上陰影表示二維陣列）：
維度相同了，np.add 接著想逐一處理元素，然而形狀一個是 (2, 3)，一個是 (1, 1)，首先處理 axis 0，令其成為 (2, 1)：
接著處理 axis 1，形狀成為 (2, 3)：
如果是 a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])，而 b = np.array([[7, 8, 9]]) 呢？首先，兩者維度相同，然而形狀一個是 (2, 3)，一個是 (1, 3)，首先處理 axis 0，令其成為 (2, 3)：
接著就可以逐一運算元素了，可以發現，在形狀不同時，都是依 axis 0、axis 1 這樣的順序來處理。
如果是 a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])，而 b = np.array([[7], [8]]) 呢？首先，兩者維度相同，然而形狀一個是 (2, 3)，一個是 (2, 1)，axis 0 相同，因此處理 axis 1：
如果是 a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])，而 b = np.array([[7], [8], [9]]) 呢？兩者維度相同，然而形狀一個是 (2, 3)，一個是 (3, 1)，從 axis 0 開始，NumPy 就不知道怎麼調整為相同的形狀，這時你就會看到 could not be broadcast 的錯誤了：
簡單來說，從低維度的軸開始調整形狀時，若不是 1，或相同大小，擴張機制就無法運作，這樣的概念可以擴充至更多維度，記得，理解擴張的出發點，其實就在〈Universal functions〉中的 operates on ndarrays in an element-by-element fashion 這段，而〈Broadcasting〉中談到的規則，可以說是歸納後的結論。
來歸納一下我自己覺得容易判斷的方式：
- 記得 Universal 函式是逐元素處理
- 將低維度的陣列維度增加（形狀前加 1，直到維度相同）
- 從低維度的軸開始調整形狀，必須是 1 或相同大小