在〈傅立葉轉換（三）〉前，談到的是一維的訊號，雖然最後硬是舉了個 x 方向有灰階度變化，而 y 方向沒有的例子，然而影像實際上就是二維的，有沒有二維的傅立葉轉換轉換呢？
確實是有〈二維傅立葉轉換〉，也就是若有訊號是二維形式，可使用 f(p1, p2) 來表示，可以轉換為 F(ξ1, ξ2)，ξ1、ξ2 是二維的頻率。
二維訊號的例子之一，是想像有個水中的震動源，在不斷振動下產生的漣漪，那麼 p1、p2 可以是指什麼呢？因為時間只有一個方向，難以想像時域 f(t1, t2) 描述這訊號的方式，然而，若是在某個時間點，漣漪的位置與水平面的高低關係，就容易想像了。
也就是說，在某個時間點，可以使用 f(x, y) 來表示漣漪在位置 (x, y) 的水平面高低關係，也就是從空間域（Spatial domain）而不是時域的觀點，〈二維傅立葉轉換〉中談到的二維傅立葉級數，則是將漣漪以許多的小漣漪疊加來表示，二維傅立葉轉換後的結果，就是這些小漣漪的頻域表示。
水中有個單一振動源時，會產生一圈圈的漣漪，若是有多個振動源，就會構成波光粼粼，某些程度上，就會像是以二維 Pelin 雜訊建立的灰階圖：
也就是說，二維傅立葉轉換是個從空間域到頻域的轉換，就水波而言，空間域 f(x, y) 表示在位置 (x, y) 的水平面高低關係，二維傅立葉轉換後的結果，可以看到它是由哪些頻率組成。
將之應用在圖片上，空間域 f(x, y) 表示在位置 (x, y) 的灰階值，二維傅立葉轉換後的結果，可以看到它是由哪些灰階度週期變化組成，在〈傅立葉轉換（三）〉已經看過一維灰階度週期變化的樣子，二維的話，可以想像許多不同的灰階圖，每個灰階圖視覺上像個小漣漪，最後這些小漣漪疊加成一張灰階圖。
當你將灰階圖進行二維傅立葉轉換，得到的頻域表示就是這些小漣漪的頻率，也就是所謂的圖像頻率。
NumPy 提供了二維傅立葉轉換的實作函式 fft2，〈傅立葉轉換（二）〉中談過的一維傅立葉轉換，轉換後是含複數的一維陣列，fft2 轉換後是含複數的二維陣列。
如果取振幅絕對值並標準化 0 ~ 255，作為圖片顯示，會是個以圖片左上角開始，越外圍表示越高頻的圖像，通常我們會將之位移至中心以便觀察，這可以透過 fftshift 函式，NumPy 也提供了二維傅立葉逆轉換 ifft2。
以上面的 Perlin 雜訊圖片為例：
import cv2
import numpy as np
img = cv2.imread('perlin2d.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
f = np.fft.fft2(img)
shifted = np.fft.fftshift(f) # 將頻率 (0, 0) 位移至中心
amp = np.abs(shifted)
cv2.imshow('FFT 2D', amp / np.max(amp) * 255) # 頻域表示
inversed = np.fft.ifft2(f).real.astype('uint8') # 逆轉換
cv2.imshow('INVERSE FFT 2D', inversed)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
這會顯示以下的圖案，因為已經將頻率 (0, 0) 位移至中心，從這張圖中心很亮來看，這張 Perlin 雜訊圖片有很大的低頻成分：
OpenCV 本身也有提供傅立葉轉換的相關實作，cv2.dft 接受影像資料，必須是 float32 型態，flags 參數指定 cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT 表示轉換為複數輸出，不過輸出會分為實數與虛數兩個部份，若 f 是輸出結果，可以透過 f[:,:,0] 取得實數部份，f[:,:,1] 取得虛數部份。
在取得實數與虛數部份後，雖然可以自行實作標準化，然而可以透過 cv2.magnitude 指定實數與虛數部份取得振幅大小，再透過 cv2.normalize 標準化為 0 ~ 255。
傅立葉逆轉換的話，可以透過 cv2.dft 指定 flags 為 cv2.DFT_INVERSE，或者直接使用 cv2.idft。
以下是透過 OpenCV 的來進行傅立葉轉換與逆轉換，執行結果與上面的圖像是相同的：
import cv2
import numpy as np
img = cv2.imread('perlin2d.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
f = cv2.dft(np.float32(img))
shifted = np.fft.fftshift(f) # 將頻率 (0, 0) 位移至中心
freq = cv2.normalize(
cv2.magnitude(shifted[:,:,0], shifted[:,:,1]),
None,
0, 255,
cv2.NORM_MINMAX)
cv2.imshow('FFT 2D', freq) # 頻域表示
inversed = cv2.dft(f, flags = cv2.DFT_INVERSE) # 逆轉換，也可以使用 cv2.idft(f)
inversed_img = cv2.normalize(
cv2.magnitude(inversed[:,:,0], inversed[:,:,1]),
None,
0, 255,
cv2.NORM_MINMAX
).astype('uint8')
cv2.imshow('INVERSE FFT 2D', inversed_img)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
知道如何進行圖像的傅立葉轉換與逆轉換後，來複習一下雜訊，之前的文件談過，椒鹽雜訊是高頻雜訊，如果在圖像上產生椒鹽雜訊，會如何呢？
import cv2
import numpy as np
# 椒鹽雜訊
def salt_pepper_noise(image, fraction, salt_vs_pepper):
img = np.copy(image)
size = img.size
num_salt = np.ceil(fraction * size * salt_vs_pepper).astype('int')
num_pepper = np.ceil(fraction * size * (1 - salt_vs_pepper)).astype('int')
row, column = img.shape
x = np.random.randint(0, column - 1, num_pepper)
y = np.random.randint(0, row - 1, num_pepper)
img[y, x] = 0
x = np.random.randint(0, column - 1, num_salt)
y = np.random.randint(0, row - 1, num_salt)
img[y, x] = 255
return img
def fftshow(title, img):
f = np.fft.fft2(img)
shifted = np.fft.fftshift(f)
amp = np.abs(shifted)
fimg = amp / np.max(amp) * 255
cv2.imshow(title, fimg)
img = cv2.imread('caterpillar.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
cv2.imshow('caterpillar', img)
fftshow('caterpillar FFT', img)
noisy = salt_pepper_noise(img, 0.1 , 0.5)
cv2.imshow('noisy', noisy)
fftshow('Noisy FFT', noisy)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
產生的圖像如下：
可以看到原圖像的頻域與產生雜訊後的頻域比較結果，從中心開始，越外圈頻率越高，原圖像在外圍本來沒什麼訊號，在加上椒鹽雜訊後，顯然地，就增加了大量的高頻訊號。
在〈傅立葉轉換（二）〉中看過，透過一維的傅立葉轉換與逆轉換，可以實現濾波的功能，在圖像上也可以這麼做，這就在下篇文件再來談…