在〈傅立葉轉換（二）〉的最後談到，接下來要透過 Perlin 雜訊，來認識訊號與影像處理間的關係，這邊先從〈NumPy 與 Perlin 雜訊〉談到的一維 Perlin 雜訊開始。
首先，可以利用〈NumPy 與 Perlin 雜訊〉，來產生一段訊號：
import numpy as np
from math import floor
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
def blending(t):
return 6 * (t ** 5) - 15 * (t ** 4) + 10 * (t ** 3)
blending = np.frompyfunc(blending, 1, 1)
def lerp(s1, s2, t):
return s1 + t * (s2 - s1)
lerp = np.frompyfunc(lerp, 3, 1)
def grad1(n, s):
return s if n % 2 == 0 else -s
grad1 = np.frompyfunc(grad1, 2, 1)
np.random.seed(10) # 為了每次取得相同雜訊，這邊設定了亂數種子
rand_table = np.random.randint(255, size = 256)
def perlin1(x):
xi = np.floor(x)
s = x - xi
a = rand_table[(xi % 256).astype(np.int)]
b = rand_table[((xi + 1) % 256).astype(np.int)]
return lerp(grad1(a, s), grad1(b, s - 1), blending(s)) # 全部的雜訊
def singal(t, sample_rate):
noise_level = 10 # 雜訊的變化程度
x = np.linspace(0, noise_level * t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
return perlin1(x)
t = 2
sample_rate = 800
samples = singal(t, sample_rate)
x = np.linspace(0, t, int(t * sample_rate), endpoint = False)
plt.title('Perlin noise')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().set_aspect(1)
plt.plot(x, samples)
plt.show()
基本上，你不用特別理會 noise_level，它只是為了取得更多樣的頻率，這邊主要還是關心，對訊號取樣的結果：
那麼這段訊號，是由哪些頻率組成的呢？透過〈傅立葉轉換（二）〉中談到的方式，調整一下頻率觀察範圍，可以得到以下的譜域圖形：
若忽略振幅低的頻率，例如，標準化後小於 0.05 的頻率：
上圖並沒有相位資訊，其實在〈傅立葉轉換（一）〉與〈傅立葉轉換（二）〉中的範例，訊號的相位也都特意設計為 0，必要時也可以畫出相位資訊，例如透過以下的程式碼：
import numpy as np
from math import floor
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
...signal 等函式的定義同上…略
t = 2
sample_rate = 800
samples = singal(t, sample_rate)
sp = np.fft.fft(samples)
freq = np.fft.fftfreq(samples.size, d = 1 / sample_rate) # 頻率
amp = np.abs(sp) # 振幅
phi = np.arctan2(sp.real, sp.imag) # 相位
amp_normal = amp / np.max(amp) # 振幅標準化
# 振幅大於 0.05 的部份
amp_greater_005 = np.where(amp_normal > 0.05)
freq2 = freq[amp_greater_005]
amp2 = amp[amp_greater_005]
phi2 = phi[amp_greater_005]
# 正頻率的部份
freq_positive = np.where(freq2 > 0)
freq3 = freq2[freq_positive]
amp3 = amp2[freq_positive]
amp3_normal = amp3 / np.max(amp3)
phi3 = phi2[freq_positive]
# 頻率-振幅
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.stem(freq3, amp3_normal)
# 頻率-相位
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.stem(freq3, phi3)
plt.show()
可以到這張圖，圖的上方是頻率與振幅，下方是頻率與相位：
也就是說，若透過以下的程式碼：
import numpy as np
from math import floor
from random import randint
import matplotlib.pyplot as plt
...signal 等函式的定義同上…略
t = 2
sample_rate = 800
samples = singal(t, sample_rate)
sp = np.fft.fft(samples)
freq = np.fft.fftfreq(samples.size, d = 1 / sample_rate) # 頻率
amp = np.abs(sp) # 振幅
phi = np.arctan2(sp.real, sp.imag) # 相位
amp_normal = amp / np.max(amp) # 振幅標準化
# 振幅大於 0.05 的部份
amp_greater_005 = np.where(amp_normal > 0.05)
freq2 = freq[amp_greater_005]
amp2 = amp[amp_greater_005]
phi2 = phi[amp_greater_005]
# 正頻率的部份
freq_positive = np.where(freq2 > 0)
freq3 = freq2[freq_positive]
amp3 = amp2[freq_positive]
amp3_normal = amp3 / np.max(amp3)
phi3 = phi2[freq_positive]
# 繪圖
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.set_xlabel('t')
ax.set_ylabel('f')
ax.set_zlabel('amp')
stop = 1
t = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
zero = np.zeros(t.size)
for fi in range(0, len(freq3)):
f = zero + freq3[fi]
amp = np.sin(phi3[fi] + freq3[fi] * 2 * np.pi * t) * amp3_normal[fi]
ax.plot(t, f, amp)
plt.show()
在取樣的資料中，可以分離出以下的弦波：
這邊顯示這張圖的目的，是想討論一個問題，就一個二維的圖像來說，頻率代表了什麼？
在〈Matplotlib 圖片、等值輪廓線〉談過二維 Perlin 雜訊，若將雜訊值作為灰階值，看來就像起伏的地形：
如果在圖上與 x 軸平行畫一條線，線通過的像素，其灰階值就是一維 Perlin 雜訊，以雜訊作為 y，像素 x 座標作為 x，畫出來的曲線圖，就類似這篇文件開頭的第一張圖，是隨機而又連續的曲線，而這樣的曲線，可以看成是數個頻率弦波疊加後的結果。
也就是說，就圖像來說，取樣距離內的灰階度會有數個週期性變化，與這些週期相對的就是頻率，當然，圖像是二維的，不過，可以來產生 x 方向有灰度變化，而 y 方向沒有的圖案來先做個說明，例如就以下的程式來說：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
freq = 5
stop = .25
sample_rate = 800
x = np.linspace(0, stop, int(stop * sample_rate), endpoint = False)
gray = 125 + np.sin(freq * 2 * np.pi * x) + 125
plt.imshow(gray.reshape(1, 200).repeat(200, axis = 0), cmap = cm.gray)
plt.show()
產生的圖案為：
若將 freq 調為 50，會得到以下的圖案，這時可以說，相對而言，上圖是低頻的訊號組成，也就是灰階度變化相對來說緩和，而下圖是是高頻的訊號組成，也就是灰階度變化相對來說劇烈：
也就是說，頻率的高低是相同的，從上圖也可以發現，兩圖相對來說，低頻的那張，黑與白的界線較不明顯，高頻的那張看來，黑與白的界線較為明確，這是不是意謂著，若想要尋找圖像中的邊緣，可以設法保留高頻的部份？
基本上這想法沒錯…不過，實際的圖像就像方才的二維 Perlin 雜訊圖片那樣，是二維的，因此必須能夠計算二維的頻率…這就是下一篇的主題了…