雖然涉及一些數學運算，不過，你應該試著去理解過感知器的原理，如果你暫時沒那時間，或者是曾經試著從公式去理解而不得其門而入，以下來提供另一種理解方式。
在〈多層感知器（一）〉中使用了三個感知器，如果將三個感知器的 coef_ 與 intercept_ 顯示出來會得到：
print(p1.coef_, p1.intercept_) # [[-60. 107.]] [0.]
print(p2.coef_, p2.intercept_) # [[ 321. -800.]] [-1.]
print(p3.coef_, p3.intercept_) # [[2. 2.]] [-1.]
在〈分類與感知器〉中提過，coef_ 是感知器的權重向量（在直線的情況下，也可以理為直線的法向量），而 intercept_ 其實是感知器的偏差（bias）（在直線的情況下，也可以理為直線的截距）。
對於一個感知器，它的輸出其實是透過 W . X + b，要輸出 1 或 0，W 表示權重向量，X 是變數值的向量，b 是偏差值，如果 W . X + b > 0 輸出 1，W . X + b <= 0 輸出 0。
既然〈多層感知器（一）〉中已經訓練好三個感知器，那麼就直接用它的權重與偏差吧！對於 p1、p2 感知器可以寫成：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def a(x):
return 1 if x > 0 else 0
def p1_predict(height, waist):
w1 = np.array([-60, 107])
b1 = 0
return a(np.dot(w1, [height, waist]) + b1)
def p2_predict(height, waist):
w2 = np.array([321, -800])
b2 = -1
return a(np.dot(w2, [height, waist]) + b2)
height = 165
waist = 85
print(p1_predict(height, waist)) # 顯示 0
print(p2_predict(height, waist)) # 顯示 0
現在 p1、p2 各輸出為 0，接著將輸出接至 p3
def p3_predict(p1_o, p2_o):
w3 = np.array([2, 2])
b3 = -1
return a(np.dot(w3, [p1_o, p2_o]) + b3)
# 顯示 0
print(
p3_predict(
p1_predict(height, waist),
p2_predict(height, waist)
)
)
你可以試試不同的 height、waist，看看 p3_predict 最後輸出結果是否符合分類；其實以上的過程，可以透過矩陣運算組合在一起：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def a(x):
return np.where(x > 0, 1, 0)
def p1p2_predict(height, waist):
# 建立矩陣
w = np.array([
[-60, 107],
[321, -800]
])
b = np.array([0, -1])
# @ 是矩陣相乘
return a(w @ [height, waist] + b)
def p3_predict(p1p2_o):
w3 = np.array([2, 2])
b3 = -1
return a(np.dot(w3, p1p2_o) + b3)
height = 165
waist = 85
print(
p3_predict(
p1p2_predict(height, waist)
)
)
為了將一般化，來為這些感知器、權重、偏差等取名稱好了，為此編好號碼：
每一層的感知器，是由上往下編號，對於第 1 層的 1 號感知器，權重為 [-60, 107]，偏差為 0，給予名稱 [w111, w112]，以及 b11，也就是說上標表示哪一層，下標表示哪一號感知器接收上一層哪一個輸入，例如 1 層 1 號感知器需要就是：
類似地，1 層 2 號感知器需要就是：
那麼方才的矩陣運算，就可以表示為 W(1) @ x + b(1)：
方才程式運算時的 a 函式，將運算結果轉為 0 或 1，稱為激勵函式，之所以這麼稱呼，是因為它控制了什麼樣的值，可以輸出 1，進一步激發下一個感知器，為什麼需要這個激勵函式呢？一個感知器的輸出是 W . X + b，可以處理線性的問題，將多個感知器的輸出直接作為其他感知器的輸入，最後組合出來的輸出，其實也會是 W . X + b 這樣的形式，還是只能處理線性的問題。
多個感知器的輸出若有了激勵函式的轉換，再作為其他感知器的輸入，組合出來的形式就有可能是 W . X + b 以外的形式，根據感知器的數量、激勵函式的選擇以及層數的不同，組合後的形式會是千變萬化，也就是說，你的分類線不再是直線，而會是各種可能的形狀，可以用來處理非線性的分類問題了。
從另一個角度來看，激勵函式是在改變特徵空間，將空間中的一組特徵映射至另一個空間成為另一組特徵，然後在該空間中尋找映射後特徵的線性邊界。
聽來很像是〈多元線性迴歸（二）〉中談過的 PolynomialFeatures，轉換後的特徵值可以更好地被線性模型 LinearRegression 擬合？某些程度上是類似的概念，只不過各種感知器的數量、激勵函式的選擇以及層數的不同下，各種特徵空間轉換的組合更為複雜，更加難以想像。
這就是為什麼，這邊要透過三個感知器來組合，因為比較容易理解激勵函式的作用，簡單來說，原本一個感知器只能有一條直線進行分類，透過激勵函式的轉換以及感知器的組合，就像是結合了兩條分類直線，來達到非線性分類的需求。
將激勵函式組合上去，就成為 a(W(1) * x + b(1))，就目前來說，結果會是個 1x2 矩陣，會是 2 層 1 號感知器的輸入，而對於 2 層 1 號感知器需要的是：
根據上圖的標示，最後的輸出結果會是 a(W(2) @ a(W(1) @ x + b(1)) + b(2))，可以看到，若有更多層、更多感知器，這樣的表示方式下，就是矩陣大小以及相乘的層次問題。
另一方面，透過一些數學推導過程，權重矩陣與偏差矩陣的實際值，可以從資料中學習得到，有興趣瞭解推導過程，就自行找相關的理論書或文件…XD